频域空间密度矩阵重正化群的研究进展

doi:10.7503/cjcu20200767

摘要/Abstract

摘要：

密度矩阵重正化群(DMRG)作为低维强关联体系中电子结构计算的强有力方法被广泛熟知, 并被迅速地应用于量子化学, 不仅在电子结构计算中发挥重要作用, 同时也在近几年迅速地成为复杂体系量子动力学计算的重要方法. 在DMRG框架中, 衍生出了一系列计算动态响应性质的有效方法, 并得到了广泛应用. 本文简述了DMRG的基本理论, 其矩阵乘积态(MPS)表示有效地扩展了该方法的应用范围. 重点介绍了基于线性响应理论的动态DMRG, 在频率空间求解系统在零温以及有限温度下响应性质的算法, 并介绍其在电子关联问题和电子-声子关联问题中的应用, 最后展望了该领域的未来发展方向.

关键词: 密度矩阵重正化群, 矩阵乘积态, 线性响应性质, 分子聚集体, 电子-声子耦合

Abstract:

Density matrix renormalization group（DMRG） has been developed for electron correlation in low-dimensional system and has been quickly applied to quantum chemistry as a powerful method for electronic structure calculation and for quantum dynamics of complex system. After more than 20 years of development， a series of effective methods for calculating dynamic response properties within DMRG have been developed and have been extensively applied for spectroscopy. We will first briefly describe the main features of DMRG， including its matrix product state（MPS） formulation. Based on the linear response theory， we focus on descri-bing the DMRG algorithms in frequency domain to solve the response properties both for zero temperature and finite temperature. We then introduce several most relevant applications in electronic correlation problems and electron-phonon correlation problems.

Key words: Density matrix renormalization group（DMRG）, Matrix product state, Linear response property, Molecular aggregate, Electron-phonon coupling（Ed.： Y, K, S）

中图分类号:

O649

TrendMD:

姜童, 任佳骏, 帅志刚. 频域空间密度矩阵重正化群的研究进展. 高等学校化学学报, 2020, 41(12): 2610.

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图/表 21

Fig.1 Graphical representation of matrix product state/operator(MPS/MPO) of wavefunction and operator(A) General wavefunction represented with MPS; (B) operator represented with MPO; (C) mixed?canonical MPS representation of wavefunction, the pink circle is Cσi, matrices to the left is left?normalized(D), to the right is right?normalized(E).

Fig.2 Adding two different MPOs

Fig.3 Applying an MPO to an MPS

Fig.4 Overlaps and expectation values

Fig.5 Eigenvalue problem when minimizing the Lagrangian with respect to local matrix Cσi

Fig.6 Graphical representation of minimizing the Lagrangian with respect to local matrix Aσi[22](A) Linear equation problem of optimizing Aσi, Aσi is marked in purple; (B) when sweep to left, Singular value decomposition(SVD) of Aσi each time after solving the local linear equation and update the local site Aσi and meanwhile obtain the guess for Aσi-1. Copyright 2020, American Chemical Society.

Fig.7 Graphical representation of obtaining the ensemble expectation value of operator(marked in blue) by thermal field dynamics

Fig.8 Linear equation ?F/?Aσi=0(Eq.55) to optimize the local site Aσi(in purple) at finite temperature[22]Aσj(j≠i) is marked in red. The operators ω-H?0, H?0, μ?, ρβ1/2 are shown in blue.Copyright 2020, American Chemical Society.

Fig.9 Representation of extended Hubbard?Peierls model

Fig.10 Plot of the log of average third?order polarizability γˉvs. log of the chain length L[8]Hubbard chain with three different values of U/t for δ=0(A) and δ=0.09(B); Hubbard?Peierls chain with three different values of U/t?and V/t=1 for δ=0(C) and δ=0.09(D).Copyright 1999, American Physical Society.

Fig.11 Optical conductivity calculated by DDMRG[21](A) Peierls insulator with U=0 and δ=0.3, both DDMRG result for a 128?site chain and the exact result in the thermodynamic limit are shown(broadening width η=0.05t); (B) optical conductivity on a 128?site chain for: Mott?Hubbard insulator with U=3t, δ=0(dashed), Peierls insulator with U=0, δ=0.15(dot dashed), and Hubbard?Peierls insulator with U=2.3t, δ=0.075(solid), broadening width η=0.1t.Copyright 2002, American Physical Society.

Fig.12 Dependence ofthe local density of states at the central site of a hydrogen chain(N=10) with different bond dimensions[14]A broadening(η) of 0.005 a.u. has been used. (A) DDMRG result, (B) TD?DMRG result.Copyright 2017, American Chemical Society.

Fig.13 Dynamical properties of Holstein model[43](A) Drude weight D and the kinetic energy per site T as a function of the electron?phonon coupling γ; (B) the incoherent part of the optical conductivity σ'ω? in the quasi?free electron regime(γ=0.3t) and in the small polaron regime(γ=2.5t).

Fig.14 Graphical representation of molecular aggregates characterized by Holstein model

Fig.15 Relative error for J? and H?aggregates with different Huang?Rhys factor(S∈[1.0,3.0,5.0]) across different temperature(kBT∈[0.5ω0,ω0,2ω0])[22]Note the error of DDMRG at kBT=0.5ω0 is magnified by 50 times to make it clearly visible. (A) Absorption; (B) emission.Copyright 2020, American Chemical Society.

Fig.16 0?0 emission strength I0?0 as a function of T-1/2 for different excitonic coupling J0(A linear relation between them is predicted by strong excitonic coupling perturbation theory[59])[22](A) J0=-2.5ω0; (B) J0=-0.25ω0; (C) J0=-0.025ω0.Copyright 2020, American Chemical Society.

Fig.17 Comparison between DDMRG and n?particle approximation[22](A) Relative error of 0?0 emission strength of an open boundary 5?site system using n?particle approximation and DDMRG; (B) the emission spectrum at kBT=ω0 with broadening width η=0.1ω0, the pre?factor of the frequency index of the line strength is omitted.Copyright 2020, American Chemical Society.

Fig.18 Linear absorption spectrum(omit the pre?factor of the frequency index) of dimer model using CheMPS and the comparison with DDMRG(A) At zero temperature T=0; (B)at finite temperature kBT=ω0/2.

Fig.19 Linear absorption spectrum using different numbers of Chebyshev moments for expansion

Fig.20 Linear absorption spectrum calculated by using effective frequency window and the energy truncation scheme with the Krylov subspace dimension dk=10 and ns=1 sweep times

Fig.21 Relative error using effective band(W*=W/2) at N=700 with respect to the full many body band calculationat N=1000 for different combinations of Krylov subspace dimension dk and sweep times ns for energy truncation

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