Solutions of Atomic and Molecular Schrödinger Equations with One-dimensional Function Approach

doi:10.7503/cjcu20210138

Abstract

Abstract:

Rigorous numerical techniques to solve the Schr?dinger equation are both interesting and desirable， particularly with one that can include new features beyond the standard methods. In this article， we review one-dimensional function（1D function） approach developed recently by us to obtain the solutions of the Schr?dinger equations of atomic and molecular systems where one-dimensional basis functions have been applied to separate components. A uniform real-space grid representation of the electronic wavefunctions is employed； hence， a refinement technique of residual vector correction can be implemented. The 1D function approach facilitates such convenient numerical integrations that many problems related with the many-electron multi-center potential molecular integrals are circumvented. The converged energy is obtained from a strictly upper bound one， while the obtained two-electron Schr?dinger wavefunction exhibits the electron correlation effect on one-electron distribution. Different from density functional theory or Hartree-Fock with the assumed particle-separability， the obtained solution treats more accurately many-body effect of electron correlation found in the electron-electron repulsion energy.

Key words: Solutions of Schr?dinger equations, One-dimensional function approach, Hydrogen atom, Helium and its isoelectronic ion, Hydrogen molecule and ion

CLC Number:

O641

TrendMD:

SARWONO Yanoar Pribadi, UR RAHMAN Faiz, ZHAO Rundong, ZHANG Ruiqin. Solutions of Atomic and Molecular Schrödinger Equations with One-dimensional Function Approach[J]. Chem. J. Chinese Universities, 2021, 42(7): 2286.

Figures/Tables 5

Table 1 Ground state energy of the hydrogen atom and isoelectronic series obtained with the 1D function approach and the exact valuea

Atom/Ion	h/bohr	r₀/bohr	Ground state energy/eV
Atom/Ion	h/bohr	r₀/bohr	1D function approach	Exact energy	Error energy^b
H	0.04	15.96	-13.5948	-13.6057	0.0109
He⁺	0.02	7.98	-54.3929	-54.4228	0.0299
Li²⁺	0.01	3.99	-122.3615	-122.4513	0.0898
Be³⁺	0.01	3.99	-217.5932	-217.6912	0.0980

Table 2 Electron-electron effect present in the repulsion energy of the total energy component of the helium atom and its isoelectronic ions

Atom/Ion	Repulsion energy/eV			Error to accurate energy/eV
Atom/Ion	HF/cc?pVQZ	1D function approach	Accurate	HF/cc?pVQZ	1D function approach
H^-	12.0873^［72］	8.9226	8.4872^［28］	3.6001	0.4354
He	27.9135^［72］	25.2876	25.7365^［28］	2.1770	0.4489
Li⁺	44.9451^［72］	41.6416	42.6593^［28］	2.2858	1.0177
Be²⁺	61.9604^［72］	58.4637	59.6175^［28］	2.3429	1.1538

Fig.1 Radial distribution function obtained with the 1D function approach compared with that obtained with the DFT method and the HF method

Table 3 Ground state energy of hydrogen molecule and ions and helium molecule ion obtained with the 1D function approacha

Molecule	N	h/bohr	HF/cc?pVQZ	Ground state energy/eV
Molecule	N	h/bohr	HF/cc?pVQZ	1D function approach	Accurate energy
H $2 +$	400	0.03	-16.3949^［72］	-16.3949	-16.3976^b
H₂	34	0.27	-30.8441^［72］	-31.6169	-31.9598^c
H $3 +$	34	0.27	-33.4074^［72］	-34.2347	-34.7354^d
He $2 2 +$	34	0.19	-98.1869^［72］	-98.4808	-100.1325^e

Table 3 Ground state energy of hydrogen molecule and ions and helium molecule ion obtained with the 1D function approacha

Molecule	N	h/bohr	HF/cc?pVQZ	Ground state energy/eV
Molecule	N	h/bohr	HF/cc?pVQZ	1D function approach	Accurate energy
H $2 +$	400	0.03	-16.3949^［72］	-16.3949	-16.3976^b
H₂	34	0.27	-30.8441^［72］	-31.6169	-31.9598^c
H $3 +$	34	0.27	-33.4074^［72］	-34.2347	-34.7354^d
He $2 2 +$	34	0.19	-98.1869^［72］	-98.4808	-100.1325^e

Table 4 Equilibrium bond length obtained with the 1D function approach, the HF, and the accurate method

Molecule	Equilibrium bond length/bohr
Molecule	HF/cc?pVQZ	Present work	Accurate
H $2 +$	2.00	2.01	2.00
H₂	1.39	1.38	1.40
H $3 +$	1.51	1.51	1.54
He²₂⁺	1.26	1.34	1.32

Table 4 Equilibrium bond length obtained with the 1D function approach, the HF, and the accurate method

Molecule	Equilibrium bond length/bohr
Molecule	HF/cc?pVQZ	Present work	Accurate
H $2 +$	2.00	2.01	2.00
H₂	1.39	1.38	1.40
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